Cómo Graficar una hipérbola

August 5

Piense de una hipérbola como una mezcla de dos parábolas - cada una una imagen de espejo perfecto de la otra, cada abertura de distancia el uno del otro. Los vértices de estos parábolas están a una distancia dada de separación, y se abren, ya sea vertical u horizontalmente.

La definición matemática de una hipérbola es el conjunto de todos los puntos donde la diferencia en la distancia de dos puntos fijos (llamados los focos) es constante.

Hay dos tipos de hipérbolas: horizontal y vertical.

La ecuación para una hipérbola horizontal es

Cómo Graficar una hipérbola


La ecuación para una hipérbola vertical es

Cómo Graficar una hipérbola


Observe que x y lugares conmutador Y (así como el H y V con ellos) para nombrar horizontal frente vertical, en comparación con elipses, pero A y B estancia put. Así, por hipérbolas, un -squared siempre debe venir primero, pero no es necesariamente mayor. Más exactamente, una siempre se eleva al cuadrado en el término positivo (ya sea x -squared oy -squared). Básicamente, para obtener una hipérbola en la forma estándar, usted necesita estar seguro de que el término al cuadrado es positivo en primer lugar.

El centro de una hipérbola no es en realidad en la curva en sí, pero exactamente entre los dos vértices de la hipérbola. Siempre trazar el centro primero, y luego contar hacia fuera del centro para encontrar los vértices, ejes y asíntotas. Una hipérbola tiene dos ejes de simetría. El que pasa a través del centro y los dos focos se llama el eje transversal; el que es perpendicular al eje transversal a través del centro se llama el eje conjugado. Una hipérbola horizontal tiene su eje transversal en y = v y su eje conjugado a X = H; una hipérbola vertical tiene su eje transversal en x = h y su eje conjugado a y = v.

Cómo Graficar una hipérbola


Usted puede ver los dos tipos de hipérbolas en la figura anterior: una hipérbola horizontal a la izquierda, y una vertical a la derecha.

Si la hipérbola que usted está tratando de graficar no está en forma estándar, entonces usted necesita para completar el cuadrado para obtener en forma estándar.

Por ejemplo, la ecuación

Cómo Graficar una hipérbola


es una hipérbola vertical. El centro (h, v) es (-1, 3).

Cómo Graficar una hipérbola


(Lo que significa que usted cuenta horizontalmente 3 unidades del centro, tanto a la izquierda ya la derecha). La distancia desde el centro hasta el borde del rectángulo marcado "a" determina la mitad de la longitud de los ejes transversales, y la distancia hasta el borde del rectángulo marcado "b" determina el eje conjugado. En una hipérbola, A podría ser mayor que, menor que, o igual a b. Si se cuentan a cabo unas unidades desde el centro a lo largo del eje transversal, y b unidades del centro en ambas direcciones a lo largo del eje conjugadas, estos cuatro puntos serán los puntos medios de los lados de un rectángulo muy importante. Este rectángulo tiene lados que son paralelos al eje x y x - Y (en otras palabras, no basta con conectar los cuatro puntos, ya que son los puntos medios de los lados, no las esquinas del rectángulo). Este rectángulo será una guía útil cuando es el momento de graficar la hipérbola.

Pero como se puede ver en la figura anterior, hipérbolas contienen otras partes importantes que usted debe considerar. Por ejemplo, una hipérbola tiene dos vértices. Hay dos ecuaciones diferentes - uno para horizontal y uno para hipérbolas verticales:

  • Una hipérbola horizontal tiene vértices en (h ± a, v).
  • Una hipérbola vertical tiene vértices en (h, v ± a).

Los vértices para el ejemplo anterior son en (-1, 3 ± 4), o (-1, 7) y (-1, -1).

Usted encontrará los focos de cualquier hipérbola utilizando la ecuación

Cómo Graficar una hipérbola


donde F es la distancia desde el centro hacia los focos a lo largo del eje transversal, el mismo eje que los vértices están encendidas. La distancia F se mueve en la misma dirección que a. Siguiendo este ejemplo,

Cómo Graficar una hipérbola


Para nombrar los focos como puntos en una hipérbola horizontal, que utiliza (h ± F, v); nombrarlos en una hipérbola vertical, que utiliza (h, v ± F). Los focos en el ejemplo sería (-1, 3 ± 5), o (-1, 8) y (-1, -2). Tenga en cuenta que esto los coloca dentro de la hipérbola.

A través del centro de la hipérbola ejecutar las asíntotas de la hipérbola. Estos asíntotas ayudar a guiar su dibujo de las curvas porque las curvas no pueden cruzar en cualquier punto de la gráfica.

Cómo Graficar una hipérbola


Para representar gráficamente una hipérbola, siga estos sencillos pasos:

  1. Marque el centro.

    Siguiendo con el ejemplo hipérbola

    Cómo Graficar una hipérbola


    Usted encontrará que el centro de esta hipérbola es (-1, 3). Recuerde que debe cambiar los signos de los números dentro de los paréntesis, y también recordar que h es dentro de los paréntesis con x, y v es dentro de los paréntesis con y. Para este ejemplo, la cantidad con -squared y es lo primero, pero eso no significa que H y V lugares del interruptor. El h y v siempre permanecen fieles a su las variables respectivas, x e y.

  2. Desde el centro en el paso 1, busque la ejes transversal y conjugadas.

    Ir arriba y abajo del eje transversal a una distancia de 4 (porque 4 es bajo y), y luego a la derecha y la izquierda 3 (porque 3 es bajo x). Pero no conectar los puntos para obtener una elipse! Hasta ahora, los pasos de la elaboración de una hipérbola eran exactamente los mismos que cuando se elaboró ​​una elipse, pero aquí es donde las cosas se ponen diferentes. Los puntos que ha marcado como (en el eje transversal) son sus vértices.

  3. Utiliza estos puntos para dibujar un rectángulo que ayudará a guiar la forma de su hipérbola.

    Porque usted fue arriba y abajo 4, la altura de su rectángulo es 8; que va izquierdo y derecho 3 le da una anchura de 6.

  4. Dibujar líneas diagonales a través del centro y las esquinas del rectángulo que se extienden más allá del rectángulo.

    Esto le da dos líneas que serán sus asíntotas.

  5. Dibuje las curvas.

    Cómo Graficar una hipérbola

    Dibuje las curvas, comenzando en cada vértice por separado, que abrazan las asíntotas cuanto más lejos de los vértices de la curva recibe.

    La gráfica se acerca a las asíntotas, pero en realidad nunca los toca. La figura anterior muestra la hipérbola terminado.