Cómo Graficar una Elipse

September 14

Una elipse es un conjunto de puntos en un plano, la creación de un óvalo, forma curvada, de tal manera que la suma de las distancias desde cualquier punto de la curva a dos puntos fijos (los focos) es una constante (siempre la misma). Una elipse es básicamente un círculo que ha sido aplastado, ya sea horizontal o verticalmente.

Gráficamente hablando, es necesario conocer dos tipos diferentes de puntos suspensivos: horizontal y vertical. Una elipse horizontal es corta y la grasa; una vertical es alto y flaco. Cada tipo de elipse tiene las siguientes partes principales:

  • El punto en el centro de la elipse se llama el centro y se nombra (h, v) al igual que el vértice de una parábola y el centro de un círculo.
  • El eje principal es la línea que pasa por el centro de la elipse el camino más largo. La variable a es la letra usada para nombrar la distancia desde el centro de la elipse en el eje mayor. Los puntos finales del eje mayor de la elipse son y se llaman vértices.
  • El eje menor es perpendicular al eje mayor y corre a través del centro de la forma corta. La variable b es la letra usada para nombrar la distancia a la elipse del centro en el eje menor. Debido a que el eje mayor es siempre más largo que el menor de edad, a> b. Los criterios de valoración de plano se llaman compañeros de vértices.
  • Los focos son los dos puntos que dictan lo gorda o flaca cómo la elipse es. Siempre se encuentran en el eje mayor, y se pueden encontrar por la siguiente ecuación:

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    donde a y b se mencionan como en las balas precedentes, y F es la distancia desde el centro de cada foco.

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Esta figura muestra una elipse horizontal y una elipse vertical con sus partes etiquetadas. Observe que la longitud del eje mayor es 2 a, y la longitud del eje menor es 2 b. Esta figura también muestra la colocación correcta de los focos - siempre en el eje mayor.

Dos tipos de ecuaciones se aplican a elipses, dependiendo de si son horizontal o vertical:

La ecuación horizontal es

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con el centro en (h, v), eje mayor de 2 a, y el eje menor de 2 b.

La ecuación vertical es

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con las mismas partes - aunque a y b han intercambiado de lugar.

Cuando el número más grande A se encuentra en x, la elipse es horizontal; cuando el número más grande es bajo y, es vertical.

Tienes que estar preparado para no sólo elipses gráfico, sino también para nombrar todas sus partes. Si un problema te pide que calcular las partes de una elipse, usted tiene que estar preparado para hacer frente a algunas raíces y / o decimales cuadrados feas. A continuación se presenta las partes de las dos elipses horizontales y verticales.

Elipse Horizontal

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Centro: (h, v)

Vértices: (h ± a, v)

Compañeros de vértices: (h, v ± b)

Longitud del eje principal: 2 a

Longitud del eje menor: 2 b

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Elipse Vertical

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Centro: (h, v)

Vértices: (h, v ± a)

Compañeros de vértices: (h ± b, v)

Longitud del eje principal: 2 a

Longitud del eje menor: 2 b

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Para encontrar los vértices de una elipse horizontal, utilice (h ± a, v); encontrar los compañeros de vértices, utilice (h, v ± b). Una elipse vertical tiene vértices en (h, v ± a) y compañeros de vértices en (h ± b, v).

Por ejemplo, mira

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que ya está en la forma adecuada para graficar. Usted sabe que h = 5 y v = -1 (cambiar las señales dentro de los paréntesis).

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Este ejemplo es una elipse vertical porque el número más grande es bajo y, así que asegúrese de usar la fórmula correcta. Esta ecuación tiene vértices en (5, -1 ± 4), o (5, 3) y (5, -5). Tiene compañeros de vértices en (5 ± 3, -1), o (8, -1) y (2, -1).

El eje mayor en una elipse horizontal está dada por la ecuación y = v; el eje menor está dada por x = h. El eje mayor en una elipse vertical se representa por X = H; el eje menor está representada por y = v. La longitud del eje mayor es de 2 A, y la longitud del eje menor es 2 b.

Se puede calcular la distancia desde el centro a los focos de una elipse (ya sea la variedad) mediante el uso de la ecuación

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donde F es la distancia desde el centro de cada foco. Los focos siempre aparece en el eje mayor en la distancia dada (F) del centro.

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¿Qué pasa si la ecuación elíptica que te dan no está en forma estándar? Echa un vistazo al ejemplo

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Siga estos pasos para poner la ecuación en forma estándar:

  1. Añadir la constante para el otro lado.

    Esto le da

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  2. Completar el cuadrado.

    Usted necesita factorizar dos constantes diferentes ahora - los diferentes coeficientes para

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  3. Equilibrar la ecuación mediante la adición de los nuevos términos para el otro lado.

    En otras palabras,

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    Nota: La adición 1 y 4 dentro de los paréntesis realmente significa añadir

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    a cada lado, porque se debe multiplicar por el coeficiente antes de añadir a la derecha.

  4. Factoriza el lado izquierdo de la ecuación y simplificar derecha.

    Ahora tiene

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  5. Divida la ecuación por el constante sobre el derecho a obtener 1 y luego reducir las fracciones.

    Ahora tiene la forma

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  6. Determinar si la elipse es horizontal o vertical.

    Debido a que el número más grande es bajo x, esta elipse es horizontal.

  7. Encontrar el centro y la longitud de los ejes mayor y menor.

    El centro está ubicado en (h, v), o (-1, 2).

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  8. Grafica la elipse para determinar los vértices y compañeros de vértices.

    Ir al centro de la primera y marcar el punto.

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    Trazado de estos puntos será localizar los vértices de la elipse.

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  9. Trazar los focos de la elipse.

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    Se determina la distancia focal desde el centro hacia los focos en esta elipse con la ecuación

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    La figura de arriba muestra todas las partes de esta elipse en su gloria grasa.