Integrar una función utilizando el Caso Tangente

June 3

Cuando la función está integrando incluye un término de la forma (a 2 x 2) n, llamar su sustitución triángulo trigonometría para el caso tangente Por ejemplo, suponga que desea evaluar la siguiente integral.:

Integrar una función utilizando el Caso Tangente


Este es un caso tangente, debido a una constante más un múltiplo de x 2 está siendo elevado a una potencia (-2). He aquí cómo usted utiliza trig sustitución de integrar:

  1. Dibuja el triángulo sustitución trigonométrica para el caso tangente.

    Integrar una función utilizando el Caso Tangente

    La figura muestra cómo rellenar el triángulo para el caso tangente. Observe que el radical de lo que hay dentro de los paréntesis va de la hipotenusa del triángulo. Entonces, para llenar en los otros dos lados del triángulo, utilizar las raíces cuadradas de los dos términos dentro del radical -. Es decir, 2 y 3 x Coloque el término constante 2 en el lado adyacente y el término variable x 3 en el lado opuesto.

    Con el caso de la tangente, asegúrese de no mezclar su colocación de la variable y el constante.

  2. Identificar las piezas separadas de la integral (incluyendo dx) que usted necesita para expresar en términos de theta.

    En este caso, la función contiene dos piezas separadas que contienen x:

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  3. Exprese estas piezas en términos de las funciones trigonométricas de theta.

    En el caso tangente, todas las funciones trigonométricas deben expresarse inicialmente como tangentes y secantes.

    Para representar a la parte racional como una función trigonométrica de theta, construir una fracción usando el radical

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    como numerador y la constante de 2 como denominador. A continuación, establezca esta fracción igual a la función trigonométrica correspondiente:

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    Debido a que esta fracción es la hipotenusa del triángulo sobre el lado adyacente

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    es igual a

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    Ahora usa el álgebra y la trigonometría identidades para modificar esta ecuación en forma:

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    A continuación, expresar dx como una función trigonométrica de theta Para ello, construir otra fracción con la variable de 3 x en el numerador y el constante 2 en el denominador.:

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    Esta vez, la fracción es el lado opuesto del triángulo sobre el lado adyacente

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    por lo que es igual

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    Ahora resuelve para x y luego diferenciar:

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  4. Expresar la integral en términos de theta y evaluarlo:

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    Ahora, algunos de cancelación y reorganización convierte esta integral en algo manejable de aspecto desagradable:

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    En este punto, se puede evaluar esta integral:

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    Así que aquí está la sustitución:

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    Y aquí está la primitiva:

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  5. Cambie los dos términos theta de nuevo en términos de x:

    Usted necesita encontrar una manera de expresar theta en términos de x Esta es la forma más sencilla.:

    Integrar una función utilizando el Caso Tangente

    Así que aquí está una sustitución que le da una respuesta:

    Integrar una función utilizando el Caso Tangente

Esta respuesta es válida, pero la mayoría de los profesores no estará loco por ese segundo término feo, con el seno de un arco tangente. Para simplificarlo, aplicar la fórmula sinusoidal doble ángulo para

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Ahora usa tu triángulo sustitución trigonométrica para sustituir valores para

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en términos de x:

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Por último, utilizar este resultado para expresar la respuesta en términos de x:

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